まさか行列の射影分解がでるとは〜。ちょっとショック(笑)。まあ、でも、冷静に問題を見ると、別段知識がなくても解けるように作ってある。積分の評価にしても、接線引いて台形で下からの不等式を作ることができなくても、の関数として微分すればなんとかな…

年末の授業のときの話。学生が授業と全然違う方針の解答を持ってきた。なるほど、そんな発想もあるのか、と感心。というか、おかげでこっちが勉強させてもらった。以下要点のまとめ。自然数を固定しておく。このとき、 を満たす整数 x, y, z, w の組の個数は…

昨日、文系の学生の質問を受けた。普段教えている学生ではない。たまたま数学の教師が居たから質問されたのだと思う。東大の過去問をやっているらしいのだが、なかなかできる学生みたい。質問自体は別にどうということもないのだが、ああ、やはり文系の人は…

どの程度まで出題されるだろうか。初年度だし、近年の学力低下を考慮に入れると、そんなに難しい問題は出ないのではないか、というのが仲間内の予想だったりするのだが、こればっかりは蓋を開けてみないとねえ。来週あたり、直前期の教材の会議があるのだが…

先週の授業で、 の解法をやった。誘導があり、それはLagrangeのレゾルベントを利用するもの。これはこれで由緒正しいが、その価値はやはりガロア理論を知らないと分からないだろう。ということで高校生向けには、むしろデル・フェロ＆タルタリア(フォンタナ…

明日の授業の予習をしているのだが、あまりの品のなさにめまいがして我慢できずにここに書くことに。 上の0からe-1の範囲で接線を引き、直線x=0, x=e-1 をあわせた4つの曲線で囲まれた部分の面積を最小にしたい、という問題。なんでわざわざ平行移動するかな…

同僚のT氏が授業中にちょっと計算させてみたという。2次方程式の問題なのだが、理系だし、やりようによっては数IIIでできるということで。要点だけ言うと、 みたいな関数に帰着する。この増減を調べてごらんと5分ぐらい時間をとってやらせたらしい。結果。微…

サイクロイドの法線上に一定の距離をとったときの軌跡を考える入試問題がときどきある。所謂平行曲線みたいなもの。考え方は一般的にできるのだが、具体的な計算となるとなかなか難しい。サイクロイドの場合は、奇跡的(？)に単位法線ベクトルが半角のサイン…

昨日の高校生のクラス。群論ネタの問題があった。4枚のカードを一列に並べておいて、それらを入れ替えるというもの。abcdをbadcと入れ替える変換をS, abcdをcdabと入れ替える変換をTとする。毎回の操作ではS, Tのどちらかが選ばれ、それぞれ一定の確率で起こ…

テキストに関数列の極限の問題があるのだが、変数xの範囲が実数全体となっている。普通、もっと限定することが多いと思うのだが。それにxを固定して極限をとるということが明記されていない。大丈夫なのかな、と同僚の某氏が気にしている。まあ、高校生だし…

昨日の高校生のクラス。友愛数とかいうのかな、と思ったら微妙に違っていた。自然数nの正の約数の和をと書く。ギリシャ時代はnの約数としてn自身を入れていなかったが現在では入れて考える。 かつ のとき、mとnは友愛数と呼ばれる。つまり、自分自身を含めな…

今日の授業で次のような問題を解いた。 が を満たすように、a, b, c の値を定めよ。ただし、a は正とする。僕の解答は良くある方法、つまり、必要条件から徐々に迫るもの。具体的には、, から関係式を出していくもの。ところが、次のように直接的に攻略して…

テキストに を求める問題がある。どう説明したものか悩む。いかさま近似すれば、 と同じことが直観的に分かる。しかし、これを解答にするわけにはいかない。直観を重んじつつも厳密に証明したいのだが・・・。こういう場合、直観という舞台裏は見せずに、ひ…

を と変形すれば、ほとんど自明に解けることを発見。左辺はパラメータのnを含んでおらず、区間[tex:0

今日から新学期なのであった。しかも1限から。おまけに最初からちょんぼをしてしまったのであった。やれやれ！1998年の京大・後期試験の問題なのであるが、 かつ を満たすに対して、 および の極限を求めよ、というもの。ここで a は を満たす定数である。 …

原点と(n,n)を結ぶ最短経路はだが、このうち領域に含まれるものの個数はカタラン数になる。鏡像を使う方法が簡単だが思いつきにくい。ここでは漸化式を考える。上記の場合の数をA(n)と書くことにする。これらの経路を、直線y=x上(ただし原点を除く)に初めて…

基本的な事って案外と忘れている。有理整数環はユークリッド環であるから、すべてのイデアルは単項イデアルとなる。つまり、単項イデアル整域(PID)になる。従って必然的に一意分解整域(UFD)となる。ということで、素因数分解の一意性が成り立つというわけだ…

互いに素な正の整数a, bに対してax+by=1を満たす整数x, yが存在する。通常の証明は、ユークリッドの互除法を使うか、イデアルの考え方を適用する。以下の証明法は、互除法と帰納法を組み合わせるのだが、数年前にふと思いついた。メモしないものだから、ずっ…