友愛数もどき

数学雑記

昨日の高校生のクラス。友愛数とかいうのかな、と思ったら微妙に違っていた。自然数nの正の約数の和を\sigma(n)と書く。ギリシャ時代はnの約数としてn自身を入れていなかったが現在では入れて考える。\sigma(n)-n=m かつ \sigma(m)-m=n のとき、mとnは友愛数と呼ばれる。つまり、自分自身を含めない約数の和が相手の数に一致する場合。昨日の問題はそうではなくて、\sigma(n)=2m かつ \sigma(m)=2n というものだった。

友愛数かなと勘違いした原因は完全数とのアナロジー。完全数は \sigma(n)-n=n つまり自分自身を除いた約数の和が再び自分自身になるというもの。これは \sigma(n)=2n と同じなので、これと混同したのだった。我ながらおっちょこちょいで情けない(苦笑)。

面白いのは、不等式を利用すること。普通こんな関係式じゃあ解けないだろうと思うのだが、簡単な不等式から絶妙に決定されるのだった。どこの入試問題だろうかと思って調べたら、2002年の九州大学だった。

結果は次の通り。n=2^{k}p, m=2^{l}q (p, qは奇数)とするとき、p, qがp=2^{l+1}-1, q=2^{k+1}-1 で素数になる場合に限り、求めるものとなる。