年末の授業のときの話。学生が授業と全然違う方針の解答を持ってきた。なるほど、そんな発想もあるのか、と感心。というか、おかげでこっちが勉強させてもらった。以下要点のまとめ。
自然数
を固定しておく。このとき、
を満たす整数 x, y, z, w の組の個数は組合せの数として求められる。組合せの数を解釈する方法もいろいろとあり、どれもなるほどというもので楽しい。まず、横幅がすべて1で縦がx, y, z, w の長方形を左から並べて棒グラフみたいなものを作る。そうすると、この棒グラフに沿って、原点と点 (4,n) を結ぶ経路が作られる。この対応によって、(n+4)個から4個を選ぶ組合せの数になる。
別の方法もある。
, 
, 
, 
, 
と置けば、
であるから、5種類の物から重複を許して個を選ぶという重複組合せの問題になる。
