新学期早々 - 一数学教師日記

今日から新学期なのであった。しかも1限から。おまけに最初からちょんぼをしてしまったのであった。やれやれ！

1998年の京大・後期試験の問題なのであるが、 $\sin(\theta_n+a)=(\theta_n+n\pi)\sin\theta_n$ かつ $0<\theta_n<\pi$ を満たす $\theta_n$ に対して、 $\theta_n$ および $n\theta_n$ の極限を求めよ、というもの。ここで a は $0<\theta_n<\pi$ を満たす定数である。

$\sin\theta_n$ が0に収束することは見易い。従って、 $\theta_n$ が $\pi$ に収束しないこと、正確に言えば、 $\pi$ に収束する部分列を含まないことを示せば、 $\theta_n$ が0に収束することが言える。背理法で簡単に示せると思って授業に臨んだのだったが、微妙な所で矛盾しないことに黒板で気付く。いや、矛盾しているのだが、ちょっと微妙というか明晰さに欠けるのだった。そこで急遽予定変更して、 $0<\theta_n<\pi-a$ であることを示し、なんとか証明した。しかし、この方法は学生には難しいというか気付かないじゃないかな、と思う。

ところが帰宅途中で、ちょっとだけ工夫すれば簡単に背理法で示せることに気付いた。しまった、そうだったか・・・。歳はとりたくないものだ。