本屋に行ったついでにそろそろ出ているかなと、2006年版の数研の入試問題集を探したところ、あるにはあったのだが、分厚くなっていて驚いた。これまでは答えは巻末に数値のみだったのだが、本体の2倍もある別冊の解答冊子がくっついている。どうやら教師向け…

さっき宅配便で届いた。ざっと眺めたが、けっこう難しいなあと思う。学生の学力というか計算力が落ちていることは模試の答案などからはっきりしているが、そういう基礎のてこ入れみたいなことはみんな考えてないようだ。相変わらず、難問を並べているだけの…

文理共通で出題されたもの。放物線 上に3つの頂点P, Q, Rをもつ一辺の長さaの正三角形があり、直線PQの傾きはである。このとき、辺の長さaを求めよ。いろいろな解法があり、自分でも3通りぐらい解いた記憶がある。回転行列とかを用いるのが模範的というか教…

原点と(n,n)を結ぶ最短経路はだが、このうち領域に含まれるものの個数はカタラン数になる。鏡像を使う方法が簡単だが思いつきにくい。ここでは漸化式を考える。上記の場合の数をA(n)と書くことにする。これらの経路を、直線y=x上(ただし原点を除く)に初めて…

基本的な事って案外と忘れている。有理整数環はユークリッド環であるから、すべてのイデアルは単項イデアルとなる。つまり、単項イデアル整域(PID)になる。従って必然的に一意分解整域(UFD)となる。ということで、素因数分解の一意性が成り立つというわけだ…

しばしの休暇も昨日で終了。今日から集中して模試の原稿を仕上げないといけない。

自然数nで が立方数(自然数の3乗となる数)となるものは存在しないことを証明せよ、という問題を見かけた。ふーん、まあ簡単だが・・・。見るからに、パスカルの三角形というか の展開から作った感じ。より大きくてより小さいのだから、そりゃ無理に決まって…

互いに素な正の整数a, bに対してax+by=1を満たす整数x, yが存在する。通常の証明は、ユークリッドの互除法を使うか、イデアルの考え方を適用する。以下の証明法は、互除法と帰納法を組み合わせるのだが、数年前にふと思いついた。メモしないものだから、ずっ…

教務課から電話があり、冬のスケジュールが決まった。というか、移動もあり憂鬱。正直言って、年末に仕事したくない。夏だってお盆前にすべて終了させたし(笑)。

漠然とは知っていたが、1982年の東大の問題とちょうど逆の命題だった。一次変換 f に対し、原点を通らない直線Lがあり、となっている。このとき、原点以外の固定点が存在する。 ま、どっちにしても1を固有値にもつということだが。学生向けに解くなら、Lの方…

本棚に飾ってはあるが、実のところほとんど読んでいない(苦笑)。学生のとき、テスト前に一階偏微分方程式のLagrange-Charpitの解法について読んだ記憶があるだけ。今見てみると、最後の方にはクーラントお気に入りのプラトー問題などが書いてあったりする。…

今日からはてなダイアリーという所で日記というか雑記を書くことにした。mimetexがインストールされていて数式が書けるらしいというのが、ここを選んだ理由。実験してみるかな。

1982年の東大入試で次のような問題があった。1次変換 f が原点以外の固定点Pを持てば、原点を通らない直線 L で L 上の任意の点が f によりLの点にうつるものが存在する。ではないことに注意。それだと反例がある。ということ。この問題の素朴な解法を見つけ…