整数の基本定理について

互いに素な正の整数a, bに対してax+by=1を満たす整数x, yが存在する。通常の証明は、ユークリッドの互除法を使うか、イデアルの考え方を適用する。以下の証明法は、互除法と帰納法を組み合わせるのだが、数年前にふと思いついた。メモしないものだから、ずっと忘れていたが、今しがたまた思い出した(笑)。

a＞bとし、aをbで割り a=bq+c とおく。bとcに対しては帰納法の仮定から bx+cy=1 となる整数x,yが存在する。これに c=a-bq を代入すれば、bx+(a-bq)y=1 となって完了。