2004年東大の正三角形の問題

文理共通で出題されたもの。放物線 $y=x^2$ 上に3つの頂点P, Q, Rをもつ一辺の長さaの正三角形があり、直線PQの傾きは $\sqrt{2}$ である。このとき、辺の長さaを求めよ。

いろいろな解法があり、自分でも3通りぐらい解いた記憶がある。回転行列とかを用いるのが模範的というか教師根性(笑)が好みそうであるが、以下の方法はもう少し素朴なもの。

$P(p,p^2)$ , $Q(q,q^2)$ などと置く。傾きの条件から、 $p+q=\sqrt{2}$ となる。PQの中点をMとすれば、MRはPQに垂直で長さは $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍であるから、Rの座標はp, qで表される。p-q=t などと置けば、すべてはtの式で書けるから、Rが放物線上にある条件からtの値が求められる。