東大の格子点と直線の問題

年度は忘れたが、昔の東大の問題。全ての格子点を中心として半径rの円が描かれている。傾き2/5の任意の直線がこれらの円のどれかと必ず交わるようなrの最小値は何か、という問い。今日の授業でこれを解いた。

以前に授業したこともあったと思うが、その時どうやったのかすっかり忘れている。というか、毎回適当に解いているので、その度ごとに違っていたりするのだが(苦笑)。備忘録として今回の解法のポイントを記録。

みんな難しく解いているようだったが、直観的にというか図で考えれば極めて簡単なのだった。傾き2/5の直線に沿って、円を平行投影すればy軸上の閉区間になる。その閉区間たちがy軸を覆いつくせばよい。閉区間は、1/5の整数倍を中心として左右に(あるいは上下にと言ってもいいが) だけ広がっている。従って、覆い尽くすような最小の値は、 のとき。