1991年学習院大(理学部)の行列の問題

2次正方行列Aに対して、AB-BA=A となる2次正方行列Bが存在するとき、tr(A)=0 と A²=O を示せ、という問題。

トレースが0になることは成分計算で簡単に示せる。というか、tr(AB)=tr(BA) という良く知られた性質から自明に近い。ところがもう一つの A²=O の方は簡単ではない。ハミルトン・ケーリーを使うと、A²=-det(A) A となり、これと条件式からあれこれやっていると、det(A)=0 が出るには出るが、なんか偶然上手く行ったという印象である。

AB-BA=A の両辺にAの冪を掛けると、Aの冪のトレースは常にゼロになることが分かる。よって、Aの固有値の冪和はすべてゼロである。これからAの固有値はすべてゼロ。つまりAは冪零である。これで正しい？なんか勘違いしている？これで良いなら、一般のn次でも成り立つってことだが・・・。